Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，設函數有最小值，求的值域.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）先求出，分和兩種情形，利用導數的符號判斷函數的單調性即可.

（2）求出并將其化簡為，構建新函數，利用（1）的單調性及零點存在定理可得有唯一的，它就是函數最小值點，利用導數可求該最小值的值域.

解：（1）定義域為，

.

令，①

，

當時，，，

即且不恒為零，故單調遞增區間為，，

當時，，方程①兩根為，，

由于，

.

故，

因此當時，，單調遞增，

，，單調遞減，

，，單調遞減，

，，單調遞增，

綜上，當時，在單調遞增，單調遞增，

當時，在單調遞增，

，單調遞減；

在單調遞增.

（2），

設，

由（1）知，時，在單調遞增，

由于，，

故在存在唯一，使，

，

又當，，即，單調遞減，

，，即，單調遞增，

故時，

，.

又設，，

，

故單調遞增，故，

即，即.