Question

【題目】已知曲線

(1)若，過點的直線交曲線于兩點，且，求直線的方程；

(2)若曲線表示圓時，已知圓與圓交于兩點，若弦所在的直線方程為， 為圓的直徑，且圓過原點，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）或 (即) ；(2) ．

【解析】試題分析：（1）由已知條件推導出圓心C（1，2），2為半徑，由此利用點到直線的距離公式結合已知條件能求出m=1．
（2）求出圓的方程，兩圓相減得公共弦方程，即得m.

試題解析：

（1） 當時, 曲線C是以為圓心,2為半徑的圓,

若直線的斜率不存在,顯然不符，

故可直線為: ，即．

由題意知，圓心到直線的距離等于，

即:

解得或．故的方程或 (即)

(2)由曲線C表示圓，即，

所以圓心C（1,2），半徑，則必有．

設過圓心且與垂直的直線為： ，解得；

，所以，圓心

又因為圓過原點，則；

所以圓的方程為，整理得： ；

因為為兩圓的公共弦，兩圓方程相減得： ；

所以為直線的方程；又因為；所以．