Question

【題目】【2018屆天津市耀華中學高三上學期第三次月考】已知橢圓的一個焦點在直線上，且離心率.

（1）求該橢圓的方程；

（2）若與是該橢圓上不同的兩點，且線段的中點在直線上，試證： 軸上存在定點，對于所有滿足條件的與，恒有；

（3）在（2）的條件下， 能否為等腰直角三角形？并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析： 利用橢圓的性質，離心率計算公式及即可求出；

⑵分直線的斜率存在與不存在兩種情況： 斜率存在時，設出其方程，與橢圓方程聯立得到關于斜率的方程式，從而得到坐標間的關系式。假設軸上存在定點，對于所有滿足條件的，恒有，得到點的坐標，即證命題存在；當直線的斜率不存在時，易知成立，命題得證；

⑶分類討論，利用等腰直角三角形的性質和兩點間的距離關系及其根與系數的關系即可得到滿足條件的直線斜率存在即可；

解析：（1）∵橢圓的一個焦點在直線上，∴，

又，∴，

∴該橢圓的方程為.

（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

，

，

設，則， ，

∵弦的中點在直線上，∴ ，

∴ ，∴，

將代入得，

假設在軸上存在定點， ，

∴ ，

∴ ，即，

當直線的斜率不存在時，直線垂直于軸，此時顯然成立，綜上， 軸上存在定點.

（3）假設能為等腰直角三角形，則，

∴，

，

，

又，

∴ ，

，符合（*），

∴在（2）的條件下， 能為等腰直角三角形.