Question

下列命題是真命題的序號為：

③④⑤

①定義域為R的函數f（x），對?x∈R都有f（x-1）=f（1-x），則f（x-1）為偶函數
②定義在R上的函數y=f（x），若對?x∈R，都有f（x-5）+f（1-x）=2，則函數y=f（x）的圖象關于（-4，2）中心對稱
③函數f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，則f（x+1949）是奇函數
④函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的圖形一定是對稱中心在圖象上的中心對稱圖形．
⑤若函數f（x）=ax³+bx²+cx+d有兩不同極值點x₁，x₂，若|x₂-x₁|＞|f（x₂）-f（x₁）|，且f（x₁）=x₁，則關于x的方程3a•[f（x）]²+2b•f（x）+c=0的不同實根個數必有三個．

Answer 1

分析：①根據偶函數的定義進行判斷．②利用中心對稱的性質判斷．③利用函數奇偶性的性質判斷．④利用函數的對稱性進行判斷．⑤利用函數的導數和單調性之間的關系判斷．

解答：解：①若f（x-1）為偶函數，則f（-x-1）=f（x-1），所以①錯誤．
②因為

x-5+1-x

2

=

1-5

2

=-2為常數，

f(x-5)+f(1-x)

2

=

2

2

=1為常數，所以y=f（x）的圖象關于（-2，1）中心對稱，所以②錯誤．
③若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，則f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），即f（-x-3）=-f（x+1），
所以f（-x+1）=f（-x-3），即f（x+1）=f（x-3），所以f（x+4）=f（x），所以函數的周期是4，
所以f（x+1949）=f（x+1）為奇函數，所以③正確．
④根據三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d性質可知三次函數是中心對稱圖形，其對稱中心為(-

b

3a

，f(-

b

3b

))，
所以④正確．
⑤導數f′（x）=3ax²+2bx+c，由題意知x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的兩根，即x₁，x₂是函數的兩個極值點，不妨設x₂＞x₁，從而關于f（x）的方程3a[f（x）]²+2b[f（x）]+c=0有兩個根，
f（x₁）=x₁，x₂＞x₁=f（x₁），如下示意圖象：如圖有三個交點，故有3個不同實根．所以⑤正確．
故答案為：③④⑤

點評：本題主要考查了函數奇偶性的應用，以及函數對稱性的應用，綜合性較強，難度較大．