Question

【題目】已知雙曲線過點(diǎn)P（﹣3 ，4），它的漸近線方程為y=± x．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F1和F2為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在此雙曲線上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)雙曲線的方程為y2﹣ x2=λ（λ≠0），

代入點(diǎn)P（﹣3 ，4），可得λ=﹣16，

∴所求求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：設(shè)|PF1|=d1，|PF2|=d2，則d1d2=41，

又由雙曲線的幾何性質(zhì)知|d1﹣d2|=2a=6，

∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，

又|F1F2|=2c=10，

∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2

∴cos∠F1PF2=

【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求出雙曲線的方程。（2）利用雙曲線的定義得出關(guān)系式，兩邊平方可得出d12+d22 的值，根據(jù)余弦定理可求出cos的值即可。