Question

【題目】一個多面體的三視圖正視圖、側視圖、俯視圖如圖所示，M，N分別是，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）若這個多面體的六個頂點A，B，C，，，都在同一個球面上，求這個球的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據三視圖的性質，可得該幾何體是直三棱柱，且，，連接，，矩形中對角線的中點N就是的中點．結合M是的中點證出，由線面平行的判定定理，證出平面．

（2）由平面，得到正方形中可得，結合線面垂直判定定理，證出平面，再由，可得平面；

（3）根據三棱柱是直三棱柱，在矩形中算出可得，從而得到，同理得，所以點N是多面體的外接球心，得到半徑由球的體積公式，即可算出該外接球的體積．

解：由題意可知，這個幾何體是直三棱柱，且，，

（1）連接，，由直三棱柱的性質，得平面，

，可得四邊形為矩形．

由矩形的性質，得過的中點N．

在中，由中位線性質得，

又平面平面，平面

（2）平面，平面，

在正方形中，可得

又，平面

又，平面

（3）多面體為直三棱柱，

矩形中，

可得，

是直角三角形斜邊的中線，

同理可得

是這個多面體的外接球的球心，半徑，

外接球的體積