Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，，為的中點，為的中點，點在線段上，且．

（1）求證：平面；

（2）若平面底面ABCD，且，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）（法一）如圖，設中點為，連接，，，則有，利用線面平行的判定定理，證得平面，進而證得平面，從而證得平面平面，即可求得平面.

（法二）連接、、，則有，證得，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.

（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，求得平面和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解。

解：（1）證明：（法一）如圖，設中點為，連接，，，則有，

∵平面，平面，∴平面，

又∵，∴，

∵平面，平面，∴平面，

又∵，∴平面平面，∴平面.

（法二）如圖，設中點為，為線段上一點，且.

連接、、，則有，

∵，∴，∴，且，

即為平行四邊形，∴，

∵平面，平面，∴平面.

（2）∵平面底面，且，∴底面，

如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，

則，，，，

∴，，

設平面的一個法向量為，

則，∴，

取，可得，

又易知平面的一個法向量，

設平面與平面所成銳二面角為，則，

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.