Question

（文）已知函數(shù)f(x)=

3

sin2x+2cos2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期與單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當0≤x≤

π

2

時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式化簡函數(shù)，即可求f（x）的最小正周期與單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當0≤x≤

π

2

時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，利用正弦函數(shù)的性質，可求f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin2x+2cos2x+2=

3

sin2x+cos2x+3=2sin（2x+

π

6

）+3，
∴f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，
由2x+

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，可得函數(shù)的單調遞減區(qū)間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）0≤x≤

π

2

時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴2≤2sin（2x+

π

6

）+3≤5，
∴f（x）的值域為[2，5]．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質，考查學生的計算能力，正確利用三角函數(shù)的性質是關鍵．