Question

（文）已知函數f(x)=2x-

1

2|x|

．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[2，3]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當x≤0時得到f（x）=0而f（x）=2，所以無解；當x＞0時解出f（x）=2求出x即可；
（2）由 t∈[2，3]時，2^tf（2t）+mf（t）≥0對恒成立得到，得到f(t)=2t-

1

2t

，代入得到m的范圍即可．

解答：解：（1）當x＜0時，f（x）=0；當x≥0時，f(x)=2x-

1

2x

．…（2分）
由條件可知 2x-

1

2x

=2，即 2^2x-2•2^x-1=0，
解得 2x=1±

2

．…（6分）∵2^x＞0，∴x=log2( 1+

2

 )．…（8分）
（2）當t∈[2，3]時，2t( 22t-

1

22t

 )+m( 2t-

1

2t

 )≥0，…（10分）
即 m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）．∵2^2t-1＞0，∴m≥-（2^2t+1）．…（13分）∵t∈[2，3]，∴-（1+2^2t）∈[-65，-17]，
故m的取值范圍是[-17，+∞）．…（16分）

點評：本題主要考查了函數恒成立問題．屬于基礎題．恒成立問題多需要轉化，因為只有通過轉化才能使恒成立問題等到簡化；轉化過程中往往包含著多種數學思想的綜合運用，同時轉化過程更提出了等價的意識和要求．