Question

（2006•松江區模擬）（文）已知函數f(x)=ax2-2

4+2b-b2

x，g(x)=-

1-(x-a)2

，（a，b∈R）
（Ⅰ）當b=0時，若f（x）在[2，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求滿足下列條件的所有實數對（a，b）：當a是整數時，存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（Ⅲ）對滿足（Ⅱ）的條件的一個實數對（a，b），試構造一個定義在D={x|x＞-2，且x≠2k-2，k∈N}上的函數h（x），使當x∈（-2，0）時，h（x）=f（x），當x∈D時，h（x）取得最大值的自變量的值構成以x₀為首項的等差數列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當b=0，時，f（x）=ax²-4x，討論a的取值，結合二次函數的單調性建立a的不等關系即可；
（Ⅱ）討論a為0時不可能，要使f（x）有最大值，必須滿足

a＜0 4+2b-b2

≥ 0，求出此時的x=x₀，根據g（x）取最小值時，x=x₀=a，建立等量關系，結合a是整數，求出a和b的值．
（Ⅲ）當實數對（a，b）是（-1，-1），（-1，3）時，f（x）=-x²-2x，依題意，只需構造以2（或2的正整數倍）為周期的周期函數即可．

解答：解：（Ⅰ）當b=0時，f（x）=ax²-4x，
若a=0，f（x）=-4x，則f（x）在[2，+∞）上單調遞減，不符題意．
故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上單調遞增，必須滿足

a＞0 4 2a ≤2

，∴a≥1．
（Ⅱ）若a=0，f(x)=-2

4+2b-b2

x，則f（x）無最大值，故a≠0，∴f（x）為二次函數，
要使f（x）有最大值，必須滿足

a＜0 4+2b-b2≥0

，即a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，
此時，x=x0=

4+2b-b2

a

時，f（x）有最大值．
又g（x）取最小值時，x=x₀=a，依題意，有

4+2b-b2

a

=a∈Z，則a2=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

，
∵a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，∴0＜a2≤

5

(a∈Z)，得a=-1，此時b=-1或b=3．
∴滿足條件的實數對（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．
（Ⅲ）當實數對（a，b）是（-1，-1），（-1，3）時，f（x）=-x²-2x
依題意，只需構造以2（或2的正整數倍）為周期的周期函數即可．
如對x∈（2k-2，2k），k∈N，x-2k∈（-2，0），
此時，h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）²-2（x-2k），
故h（x）=-（x-2k）²-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k∈N．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合問題．等差關系的確定、函數單調性的應用，以及函數的最值及其幾何意義，屬于中檔題．