Question

【題目】平行四邊形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，，，且，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）若直線上存在點，使得，所成角的余弦值為，求與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

(1)取的中點或取中點,利用證平行四邊形的方法再證明平面即可.

(2)根據勾股定理與余弦定理證明,再根據面面垂直的性質得出平面即可證明.

(3) 以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系.

設,再利用空間向量求解關于線面角的問題即可.

（1）解法1：取的中點,連結,,,

在直角梯形中,,,

所以四邊形為平行四邊形,

所以,

在中,,

所以,

又因為,

所以平面平面,

又平面,

所以平面.

解法2：取中點,連結,,

在中,,,

所以,且,

又,,

所以,,

所以四邊形為平行四邊形,

所以,

因為平面,平面,

所以平面.

（2）在中,,,

所以,

所以,

所以,

又平面平面,平面平面,平面,

所以平面,

因為平面,

所以.

（3）由（1）（2）以為原點,以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系.

所以,,,,,

所以,

所以,,,

設,

所以,

所以,

所以,

所以,

所以,

設平面的法向量為,

所以,

所以令,則,

如與平面成的角為,

所以.

所以,即與面成的角為.