Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓： 的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為的中點，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的

坐標；若不存在說明理由；

（3）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率和左頂點，求出， ，由此能求出橢圓的標準方程；（2）直線l的方程為，與橢圓聯立，得， ，由此利用韋達定理、直線垂直，結合題意能求出結果；（3）由,可設的方程為，與橢圓聯立方程得點的橫坐標，由，結合基本不等式即可求出最小值.

試題解析：（1）∵左頂點為

∴

又∵

∴

又∵

∴橢圓的標準方程為．

（2）直線的方程為，由消元得

化簡得， ，則

當時， ，

∴

∵點為的中點

∴點的坐標為，則.

直線的方程為，令，得點的坐標為，假設存在定點使得,則，即恒成立，

∴恒成立

∴即

∴定點的坐標為.

（3）∵

∴的方程可設為，由得點的橫坐標為

由，得 ，

當且僅當即時取等號，

∴當時， 的最小值為．