Question

已知函數f（x）=

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x³+bx²+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，滿足f′（2-x）=f′（x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式．
（Ⅱ）若函數在區間（m，n）內的圖象從左到右的單調性為依次為減-增-減-增，則稱該函數在區間（m，n）內是“W-型函數”．已知函數g（x）=（x²+k）•

f′(x)

在區間（-1，2）內是“W-型函數”，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的概念及應用

分析：（1）由f′（2-x）=f′（x）可得其對稱軸x=1，據此可得b值，求出直線y=4x-12與x軸交點（3，0），則f（3）=0，且f′（3）=4，從而可解得c、d值，根據f′（x）的符號即可求得函數的單調區間；
（2）利先求出g（x），求導，然后根據“W-型函數”，轉化為方程再區間的上的根的問題，問題得以解決．

解答： 解：（1）∵f（x）=

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x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=x²+2bx+c，
∵f′（2-x）=f′（x），
∴函數y=f′（x）的圖象關于直線x=1對稱，則b=-1．
∵直線y=4x-12與x軸的交點為（3，0），
∴f（3）=0，且f′（3）=4，即9+9b+3c+d=0①，且9+6b+c=4②，由①②解得c=1，d=-3．
∴f(x)=

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x3-x2+x-3
（2）∵f′（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
∴g（x）=（x²+k）•

f′(x)

=（x²+k）•|x-1|=

(x2+k)(x-1)，x∈[1，2) (x2+kx)(1-x)，x∈(-1.1)

當x∈[1，2）時，g′（x）=3x²-2x+k，
當x∈（-1，1）時，g′（x）=-3x²+2x-k，
①若g'（x）=0在（-1，1）上有兩根，且g'（x）≥0對x∈[1，2）恒成立
當x∈（-1，1）時，

△=4-12k＞0 g′(-1)＜0 g′(1)＜0

且x∈[1，2）時，g'（1）≥0，
解得：-1＜k＜

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②若g'（x）=0在（-1，1）上有一根，且g'（x）=0在x∈[1，2）上有一根
x∈（-1，1）時，

g′(-1)＜0 g′(1)＞0

且x∈[1，2）時，

g′(1)＜0 g′(2)＞0

解得：-5＜k＜-1
③若g'（x）≤0在（-1，1）上恒成立，且g'（x）=0在x∈[1，2）上有兩根
而x∈[1，2）時，g'（x）=3x²-2x+k對稱軸為x=

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，所以不可能有兩根，舍去．
綜上：-5＜k＜-1或-1＜k＜

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點評：本題考查函數的單調性的判斷及函數最值的求解，導數是研究函數有關性質的強有力工具，考查分類討論思想，屬于難題．