Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的極值；

（2）是否存在實數，使得與的單調區間相同，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（3）若，求證：在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）極小值為，無極大值（2）不存在滿足題意的實數．（3）見證明

【解析】

（1）當 時,可求導判斷單調性，從而確定極值;

（2）先求出的單調區間，假設存在，發現推出矛盾，于是不存在；

（3）若，令，求的單調性即可證明不等式成立.

解：（1）當 時，，

在 上單調遞減，在 上單調遞增

當 時，極小值為，無極大值

（2），令

則,在上單調遞減，在上單調遞增

若存在實數，使得與的單調區間相同，

則，

此時，與在上單調遞減矛盾，

所以不存在滿足題意的實數．

（3），記.

，又在上單調遞增，且

知在上單調遞增，故.

因此，得證．