Question

【題目】設圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

(1)證明|EA|＋|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(2)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）根據圖形中圓的半徑相等及平行線同位角相等容易得出EB=ED，得出結論|EA|＋|EB|為定值，利用定義可以判斷出點E的軌跡為橢圓，求出方程，但要注意標注范圍；（2）求對角線互相垂直的四邊形面積的最值，首先設直線方程聯立方程組求弦長，表示出四邊形的面積，再求出面積的最值，注意直線的斜率不存在的情形.

試題解析：

(1)∵|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，

∴|EB|＝|ED|，

故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.

又圓A的標準方程為(x＋1)2＋y2＝16，

從而|AD|＝4.

∴|EA|＋|EB|＝4.

由題設得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，

由橢圓定義可得點E的跡方程為： (y≠0).

(2)當l與x軸不垂直時，設l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由

得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.

則x1＋x2＝ ，x1x2＝ .

∴|MN|＝ |x1－x2|＝ .

過點B(1,0)且與l垂直的直線m：

y＝－ (x－1)，A到m的距離為 ，

∴|PQ|＝2 .

故四邊形MPNQ的面積

S＝|MN||PQ|＝12 .

可得當l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8)．

當l與x軸垂直時，其方程為x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四邊形MPNQ的面積為12.

綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8 ).