Question

【題目】如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）棱上是否存在點，使得∥平面？請證明你的結論；

（3）求直線與平面所成角的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據題意，建立空間直角坐標系，利用空間向量即可得到結論.

（2）根據題意，利用空間向量計算，即可得在上存在點，使得平面

（3）利用空間向量計算得直線與平面所成角的正弦值，進而可得余弦值.

由題意，以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，

設正方體的邊長為，則，，，，，

（1）由題意，，，

所以，異面直線與所成角的余弦值，

故異面直線與所成角的余弦值為.

（2）在上存在點，使得平面，此時有.證明如下：

假設在棱上存在點，使得平面，設，則，

設平面的一個法向量為，

由，即，取，解得，，

∴平面的一個法向量為，

由題意，得，即，即，

所以，在上存在點，使得平面，此時有.

（3）直線與平面所成角的正弦值：，

所以，直線與平面所成角的余弦值.