Question

【題目】如圖，在直棱柱中，，，，分別是棱，上的點，且平面．

（1）證明：；

（2）若為中點，求直線與直線所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

解法1：（1）以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．

設，，求出相應點的坐標，利用空間向量共線的定義求解即可；

（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.

解法2：（1）利用線面平行的性質定理，結合平行線公理進行證明即可；

（2）延長到，使，連接，．利用平行四邊形有判定定理、平行四邊形的性質可以證明出．所以 直線與直線所成角．利用余弦定理進行求解即可.

解法1：（1）如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．

設，，則，，，，，．

所以，，所以，與共線．

因為平面，所以．

（2）因為為中點，所以為中點，故，于是，．

所以，

因此直線與直線所成角的余弦值為．

解法2：（1）因為平面，平面，平面平面，所以．

在直棱柱中，，所以．

（2）延長到，使，連接，．則，，

四邊形是平行四邊形，所以．故 直線與直線所成角．

設，則，．因為為中點，所以為中點，故．

因為，所以，因此．

在中，．所以直線與直線所成角的余弦值為．