Question

給出下列命題：
①f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0]上是增函數，若θ∈(

π

4

，

π

2

)，則f（sinθ）＞f（cosθ）；
②函數y=2cos(

π

3

-2x)的單調遞減區間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)；
③若f(x)=2cos2

x

2

-1，則f(x+π)=-f(x)對x∈R恒成立；
④要得到函數y=sin(

x

2

-

π

4

)的圖象，只需將y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個單位．
其中是真命題的有

②③

（填寫所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：根據偶函數在對稱區間上單調性相反，結合三角函數的圖象和性質，可判斷f（sinθ）＜f（cosθ），進而得到①錯誤；
根據余弦型函數的單調性，求出函數y=2cos(

π

3

-2x)=2cos(2x-

π

3

)的單調區間，比照后，可得到②正確；
利用降次升角公式化簡函數的解析式，進而根據誘導公式，可判斷③正確；
利用函數圖象的平移變換法則，求出平移變換后函數的解析式，比照后，可得④錯誤．

解答：解：若θ∈(

π

4

，

π

2

)，則1＞sinθ＞cosθ＞0，又由f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0]上是增函數，故f（x）在[0，1]上是減函數，故f（sinθ）＜f（cosθ），故①錯誤；
函數y=2cos(

π

3

-2x)=2cos(2x-

π

3

)，由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，(k∈Z)，故函數y=2cos(

π

3

-2x)的單調遞減區間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)，故②正確；
f(x)=2cos2

x

2

-1=cosx，則f（x+π）=cos（x+π）=-cosx=-f（x）恒成立，故③正確；
將y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個單位后，得到函數y=sin

x- π 4

2

=sin(

x

2

-

π

8

)的圖象，故④錯誤
故答案為：②③

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了命題的真假判斷與應用，熟練掌握三角函數的圖象和性質是解答的關鍵．