Question

函數f（x）是定義在R上的奇函數，給出下列命題：
①f（0）=0；
②若f（x）在（0，+∞）上有最小值為-1，則f（x）在（-∞，0）上有最大值1；
③若f（x）在[1，+∞）上為增函數，則f（x）在（-∞，-1]上為減函數；
④若x＞0，f（x）=x²-2x；則x＜0時，f（x）=-x²-2x．
其中所有正確的命題序號是

①②④

．

Answer 1

分析：由函數f（x）是定義在R上的奇函數，可得f（-0）=-f（0）可判斷①
若f（x）在（0，+∞）上有最小值為-1，則根據奇函數的圖形關于原點對稱可在f（x）在（-∞，0）上有最大值1；
③若f（x）在[1，+∞）上為增函數，則根據奇函數在對稱區間上的單調性相同可知f（x）在（-∞，-1]上為增函數；
④若x＞0，f（x）=x²-2x；則x＜0時，-x＞0，f（x）=-f（-x）代入可求

解答：解：由函數f（x）是定義在R上的奇函數，可得f（-0）=-f（0）即f（0）=0
①f（0）=0；正確
②若f（x）在（0，+∞）上有最小值為-1，則根據奇函數的圖形關于原點對稱可在f（x）在（-∞，0）上有最大值1；正確
③若f（x）在[1，+∞）上為增函數，則根據奇函數在對稱區間上的單調性可知f（x）在（-∞，-1]上為增函數；錯誤
④若x＞0，f（x）=x²-2x；則x＜0時，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-2（-x）]=-x²-2x．正確
故答案為①②④

點評：本題綜合考查了奇函數的性質的應用；奇函數的性質f（0）=0、奇函數的圖象關于原點對稱、奇函數在對稱區間上的單調性相同、及求解對稱區間上的函數解析式等知識的簡單應用．