Question

（2013•廣西一模）已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．給出下列命題：
①f（3）=0；
②直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③函數y=f（x）在[-9，-6]上為增函數；
④函數y=f（x）在[-9，9]上有四個零點．
其中所有正確命題的序號為

①②④

（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：（1）、賦值x=-3，又因為f（x）是R上的偶函數，f（3）=0．
（2）、f（x）是R上的偶函數，所以f（x+6）=f（-x），又因為f （x+6）=f （x），得周期為6，
從而f（-6-x）=f（-6+x），所以直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸
（3）、有單調性定義知函數y=f（x）在[0，3]上為增函數，f（x）的周期為6，所以函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數．
（4）、f（3）=0，f（x）的周期為6，所以：f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0．

解答：解：①：對于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，則f（-3+6）=f（-3）+f （3），又因為f（x）是R上的偶函數，所以f（3）=0．
②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期為6，
又因為f（x）是R上的偶函數，所以f（x+6）=f（-x），
而f（x）的周期為6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），
所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸．
③：當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
所以函數y=f（x）在[0，3]上為增函數，
因為f（x）是R上的偶函數，所以函數y=f（x）在[-3，0]上為減函數
而f（x）的周期為6，所以函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數．
④：f（3）=0，f（x）的周期為6，
所以：f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0
函數y=f（x）在[-9，9]上有四個零點．
故答案為：①②④．

點評：本題重點考查函數性質的應用，用到了單調性，周期性，奇偶性，對稱軸還有賦值法求函數值．