Question

（2013•朝陽區二模）已知函數f（x）=a•2^|x|+1（a≠0），定義函數F(x)=

f(x)， x＞0 -f(x)， x＜0

給出下列命題：
①F（x）=|f（x）|； 
②函數F（x）是奇函數；
③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，
其中所有正確命題的序號是（　�。�

A．②

B．①③

C．②③

D．①②

Answer 1

分析：由題意得，F（x）=

a•2x+1，x＞0 -a•2-x-1．x＜0

，再寫出|f（x）|的表達式，它和F（x）并不是同一個函數，故①錯誤；利用函數奇偶性的定義可證得當x＞0或x＜0時，F（-x）=-F（x）；故函數F（x）是奇函數，②正確；當a＜0時，F（x）在（0，+∞）上是減函數，利用函數的單調性可得③正確．

解答：解：由題意得，F（x）=

a•2x+1，x＞0 -a•2-x-1．x＜0

，
而|f（x）|=

a•2|x|+1，f(x)＞0 -a•2|x|-1，f(x)＜0

，它和F（x）并不是同一個函數，故①錯誤；
∵函數f（x）=a•2^|x|+1是偶函數，
當x＞0時，-x＜0，則F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）；
當x＜0時，-x＞0，則F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）；
故函數F（x）是奇函數，②正確；
當a＜0時，F（x）在（0，+∞）上是減函數，
若mn＜0，m+n＞0，總有m＞-n＞0，
∴F（m）＜F（-n），即f（m）＜-F（n），
∴F（m）+F（n）＜0成立，故③正確．
故選C．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、命題的真假判斷與應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．