【題目】設雙曲線
的兩支為
(如圖)，正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上。
（1）求證：P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上；
（2）設P(-1，-1)在
上，Q、R在
上。求頂點Q、R的坐標。
【答案】（1）見解析；（2）
，
【解析】
(1)用反證法.
假設正△PQR的三頂點P、Q、R位于同一支如
上，其坐示分別的
，不妨設0
.則一定有
.于是，
.
因此
.
這說明△PQR是鈍角三角形，與△PQR為正三角形矛盾.故P、Q、R不能位于同一支上.
(2)設Q、R的坐標為
，這時QR邊上的高線方程為
.
它必過線段QR的中點，因此QR的中點坐標滿足方程(1)，
于是有
.此即 
..
，上式方括號中的式子明顯大于0，則
.故
.
于是，Q的坐標為
.而R的坐標為
，這說明Q、R關于直線y=x對稱.
PQ、PR所在的直線分別為過P點與y=x交成30°角的相互對稱的兩條直線，易見其傾斜角分別為75°和15°.不妨設PQ的傾斜角為75°，這時它的方程為
即 
.將其代入雙曲線方程
，解得Q的坐標為
，由對稱性知R的坐標為
.
期末沖刺100分創新金卷完全試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，圓
，把圓
上每一點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到曲線
，且傾斜角為
，經過點
的直線
與曲線
交于
兩點.
（1）當
時，求曲線
的普通方程與直線
的參數方程；
（2）求點
到
兩點的距離之積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4—4：坐標系與參數方程
點P是曲線C1:(x-2)2+y2=4上的動點,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸
建立極坐標系,將點P繞極點O逆時針90得到點Q,設點Q的軌跡為曲線C2.
求曲線C1,C2的極坐標方程;
射線=
(>0)與曲線C1,C2分別交于A,B兩點,定點M(2,0),求MAB的面積
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，且經過點P
，過它的左、右焦點
分別作直線l1和12.l1交橢圓于A.兩點，l2交橢圓于C,D兩點， 且
(1)求橢圓的標準方程.
(2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】游樂場的摩天輪勻速旋轉，其中心O距地面40.5m，半徑40m.若從最低點處登上座天輪，那么人與地面的距離將隨時間變化，5min后達到最高點，在你登上摩天輪時開始計時，
（1）求出人與地面距離y與時間t的函數解析式；
（2）從登上摩天輪到旋轉一周過程中，有多長時間人與地面距離大于20.5m.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區某農產品近幾年的產量統計如表：
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代碼t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年產量y(萬噸) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
（Ⅰ）根據表中數據，建立
關于的線性回歸方程
；
（Ⅱ）根據線性回歸方程預測2019年該地區該農產品的年產量.
附:對于一組數據
，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
，
.(參考數據:
，計算結果保留小數點后兩位）
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