Question

【題目】已知函數(shù).

（I）設(shè) 是的極值點(diǎn)．求實(shí)數(shù)的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）證明：當(dāng) 時(shí)，.

Answer 1

【答案】(1) f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．

(2)證明見解析.

【解析】分析：（I）求導(dǎo)，利用求出值，再利用導(dǎo)數(shù)的符號變化確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）先利用進(jìn)行放縮，再構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定新構(gòu)造函數(shù)的最值即可．

詳解：（I）f（x）的定義域?yàn)?/span> ，f ′（x）=．

由題設(shè)知，f ′（2）=0，所以．

從而 ， ．

當(dāng)0<x<2時(shí)，f ′（x）<0；當(dāng)x>2時(shí)，f ′（x）>0．

所以f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．

（II）當(dāng)時(shí)， ．

設(shè)，則

當(dāng)0<x<1時(shí)，g′（x）<0；當(dāng)x>1時(shí)，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點(diǎn)．

故當(dāng)x>0時(shí)，g（x）≥g（1）=0．

因此，當(dāng) 時(shí)，.