Question

【題目】設函數， 為正實數．

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）求證： ；

（3）若函數有且只有個零點，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）．

【解析】試題分析：（1）由導數幾何意義得，所以先求導數，代入即得，又，由點斜式得切線方程（2）由于，所以轉化為證明恒成立，即，轉化為利用導數求函數最值（3）因為，而先增后減，且，所以必為最大值（極大值），解得，最后證明當1不為極值點時， 的零點不唯一．

試題解析：（1）當時， ，則，……………2分

所以，又，

所以曲線在點處的切線方程為．…………4分

（2）因為，設函數，

則， …………………………………………………6分

令，得，列表如下：

		極大值

所以的極大值為．

所以．………………………………………………8分

（3）， ，

令，得，因為，

所以在上單調增，在上單調減．

所以．………………………………………………10分

設，因為函數只有1個零點，而，

所以是函數的唯一零點．

當時， ， 有且只有個零點，

此時，解得．…………………………………………12分

下證，當時， 的零點不唯一．

若，則，此時，即，則．

由（2）知， ，又函數在以和為端點的閉區間上的圖象不間斷，

所以在和之間存在的零點，則共有2個零點，不符合題意；

若，則，此時，即，則．

同理可得，在和之間存在的零點，則共有2個零點，不符合題意．

因此，所以的值為．…………………………………………………16分