Question

【題目】已知函數f（x）是二次函數，且滿足f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x+5；函數g（x）=ax（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（2）= ，且g[f（x）]≥k對x∈[﹣1，1]恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x+1）﹣f（x）=2x+5，

∴f（1）﹣f（0）=5，f（2）﹣f（1）=7，

又f（0）=1，∴f（1）=6，f（2）=13．

設f（x）=mx2+bx+c，

則 ，解得m=1，b=4．

∴f（x）=x2+4x+1

（2）解：∵g（2）=a2= ，∴a= ．

∴g[f（x）]=（ ） ，

∵f（x）=x2+4x+1在[﹣1，1]上單調遞增，g（x）是減函數，

∴g（f（x））在[﹣1，1]上是減函數，

g（f（x））在[﹣1，1]上的最小值為g（f（1））=g（6）= = ．

∵g[f（x）]≥k對x∈[﹣1，1]恒成立，

∴k≤

【解析】（1）利用關系式求出f（1），f（2），利用待定系數法求出f（x）；（2）求出a的值，判斷g（f（x））的單調性，根據單調性得出g（f（x））在[﹣1，1]上的最小值，從而得出k的范圍．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．