Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，M是PD的中點．

（1）求證：OM∥平面PAB；

（2）求證：平面PBD⊥平面PAC．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；

【解析】

（1）易知OM是△PBD的中位線，可知OM∥PB，進而可證明OM∥平面PAB；（2）底面ABCD是菱形，可知BD⊥AC，再由PA⊥平面ABCD，可得BD⊥PA，進而可證明BD⊥平面PAC，即可證明平面PBD⊥平面PAC．

證明：（1）∵在△PBD中，O、M分別是BD、PD的中點，

∴OM是△PBD的中位線，∴OM∥PB，

∵OM平面PAB，PB平面PAB，

∴OM∥平面PAB；

（2）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA．

∵AC平面PAC，PA平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，

∵BD平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PAC．