Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，是上的一點.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）如圖（1），若，求證：平面；

（Ⅲ）如圖（2），若是的中點，,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）要證面面垂直，只要證線面垂直，在直角梯形，由，平面，從而證得；

（Ⅱ）連交于點，連，易證得.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，就是二面角的平面角.由余弦定理即可求得.

試題解析：

（Ⅰ）證明：∵底面，

∴.

∵，,

∴.

∴.

∴，即.

又平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）證明：連交于點，連，

∵，

∴.

∵，

∴.

∴.

又平面，平面，

∴平面.

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知平面，

∴就是二面角的平面角.

∵,

∴.

∵是的中點，

∴.

∴.

∴二面角的余弦值為.