Question

【題目】①設三個正實數a ， b ， c ， 滿足 ，求證：a ， b ， c一定是某一個三角形的三條邊的長；

②設n個正實數 a1,a2,...an 滿足不等式 (其中 )，求證： a1,a2,...an 中任何三個數都是某一個三角形的三條邊的長.

Answer 1

【答案】①見解析②見解析

【解析】試題分析：本題主要考查了一般形式的柯西不等式，解決問題的關鍵是：①根據所給條件作差，、分解因式結合三角形三邊關系判斷即可；②設法把 中任何三個的關系轉化為①條件即可.

試題解析：①由題意，得 ，所以(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)>0 ，由于 a,b,c>0 ，所以上面不等式左邊至少有三項為正數，而四項之積為正，故這四項都是正數，從而推出 a+b>c,b+c>a,a,b,c>0，即 a,b,c 是某一個三角形的三條邊的長.

②設法把 a1,a2,...an 中任何三個的關系轉化為①的條件即可.

由已知及柯西不等式，得

.

所以， .

那么由①可知， a1,a2,a3 是某個三角形三條邊的長，再由對稱性可知 a1,a2,...an 中任何三個數都可以作為某一個三角形三條邊的長.