Question

【題目】如圖所示,設橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1、F2,線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.

(1)求該橢圓的離心率和標準方程;

(2)過B1作直線交橢圓于P、Q兩點,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面積.

Answer 1

【答案】(1) +=1 (2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）設橢圓的方程為，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2為直角，從而，利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求橢圓標準方程；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設直線PQ的方程為x=my﹣2，代入橢圓方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韋達定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，進而可求△PB2Q的面積．

解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，F2（c，0）

∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2為直角，從而|OA|=|OB2|，即

∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴

在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=

∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20

∴橢圓標準方程為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設直線PQ的方程為x=my﹣2

代入橢圓方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴，

∵，

∴=

∵PB2⊥QB2，∴

∴，∴m=±2

當m=±2時，①可化為9y2±8y﹣16﹣0，

∴|y1﹣y2|==

∴△PB2Q的面積S=|B1B2||y1﹣y2|=×4×=．