Question

已知橢圓 的離心率為，過的左焦點的直線被圓截得的弦長為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設的右焦點為，在圓上是否存在點，滿足,若存在，指出有幾個這樣的點（不必求出點的坐標）;若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質，點到直線的距離公式、垂徑定理、兩圓的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，利用橢圓的左焦點坐標、離心率聯立得到橢圓的基本量a，b，c，從而得到橢圓的標準方程；第二問，先利用點到直線的距離公式計算出點到直線的距離，再利用垂徑定理求出圓的半徑，從而得到圓的具體方程，假設圓上存在點P滿足條件，利用兩點間距離公式列出方程，經整理得到一個新的圓，利用2個圓心的距離和半徑的關系判斷出2個圓相交，所以說明存在兩個不同的點P.
試題解析：因為直線的方程為，
令，得，即                1分
∴ ，又∵，∴  ，
∴ 橢圓的方程為.              ４分
（2）存在點P，滿足
∵ 圓心到直線的距離為，
又直線被圓截得的弦長為，
∴由垂徑定理得，
故圓的方程為.           ８分
設圓上存在點，滿足即，
且的坐標為，
則，
整理得，它表示圓心在，半徑是的圓。
∴                １２分
故有，即圓與圓相交，有兩個公共點。
∴圓上存在兩個不同點，滿足.        １４分