Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）討論函數在上的單調性；

（Ⅱ）判斷當時，與的圖象公切線的條數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，函數在上單調遞減；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增；（Ⅱ）兩條，理由見解析.

【解析】

（Ⅰ）對函數進行求導，然后分類討論，根據導函數的正負性求出函數的單調區間；

（Ⅱ）利用導數的幾何意義求出與的圖象的切線，將兩個切線方程聯立，消元得到一個方程，根據方程解的個數就能確定公切線的條數，構造新函數，利用新函數的導數，結合零點存在原理進行求解即可.

（I），

當時，，所以函數在上單調遞減；

當時，由得：；由得：

所以，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增.

（Ⅱ）函數在點處的切線方程為，

即，

函數在點處的切線方程為，即.

若與的圖象有公切線.

則

由①得代入②整理得

③

由題意只須判斷關于的方程在上解的個數

令

令，解得

		0
	單調遞減	極小值	單調遞增

且圖象在上連續不斷

方程在及上各有一個根

即與的圖象有兩條公切線.