Question

【題目】已知，且不等式對任意的恒成立.

(Ⅰ) 求與的關系；

(Ⅱ) 若數列滿足：，，為數列的前項和.求證：；

(Ⅲ) 若在數列中，，為數列的前項和.求證：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ)證明略； (Ⅲ)證明略.

【解析】

(Ⅰ) 由題意，令，可得，由不等式對任意的恒成立，即不等式對任意的恒成立，得到是函數的極大值點，利用導數，即可求解。

(Ⅱ) 由（Ⅰ）令，得到 ，即

又由，即可作出證明；

(Ⅲ)令，求得恒成立，當且僅當取等號，令，得到成立，進而得到，利用累加法，即可求解。

(Ⅰ) 由題意，令，可得，

由不等式對任意的恒成立，即不等式對任意的恒成立，

所以函數在處取得最大值，也是極大值，

因為，所以，所以，

又因為，所以函數在處取得極大值，符合題意，

所以正數的關系為。

(Ⅱ) 由（Ⅰ）令，不等式對任意的恒成立，

所以 ，即

又由，

所以數列的前項和，

又由，所以，即成立。

(Ⅲ) 由數列中，，為數列的前項和，所以，

令，則，

當時，，則在單調遞減，

當時，，則在單調遞增，

所以當，函數取得最小值，最小值為，即恒成立，

即成立，即恒成立，當且僅當取等號，

令，所以，即成立，

所以

所以

，

即