Question

【題目】已知函數

(1)當時，求曲線在處的切線方程；

(2)當時，判斷 在上的單調性，并說明理由；

(3)當時，求證： ，都有

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由得切線斜率，由點斜式寫切線方程即可；

（2）由，易知在上，從而得知函數為增函數；

（3）由（2）可知，當時， 在區間單調遞增，易知不等式成立；當時，設， ，分析單調性可知存在唯一的實數，使得，又 ， ，所以當時，對于任意的， .

試題解析：

（1）當時， , .

得 又,

所以曲線在處的切線方程為

（2）方法1：因為，所以.

因為，所以，所以.

所以 當時， ，所以在區間單調遞增.

方法2：因為，所以.

令， 則 ，

隨x的變化情況如下表：

x
		+
			極大值

當時， .

所以時， ，即，

所以在區間單調遞增.

（3）方法1：由（2）可知，當時， 在區間單調遞增，

所以時， .

當時，設，

則 ，

隨x的變化情況如下表：

x
		+
			極大值

所以在上單調遞增，在上單調遞減

因為， ，

所以存在唯一的實數，使得，

且當時， ，當時， ，

所以在上單調遞增， 在上單調遞減.

又 ， ,

所以當時，對于任意的， .

綜上所述，當時，對任意的，均有.

方法2：由（Ⅱ）可知，當時， 在區間單調遞增，

所以時， .

當時， 由（Ⅱ）可知， 在上單調遞增，在上單調遞減，

因為， ，

所以存在唯一的實數，使得，

且當時， ，當時， ，

所以在上單調遞增， 在上單調遞減.

又 ， ,

所以當時，對于任意的，.

綜上所述，當時，對任意的，均有.