Question

（2008•閔行區二模）已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，長軸兩端點為A、B，短軸上端點為C．
（1）若橢圓焦點坐標為F1(2

2

，0)、F2(-2

2

，0)，點M在橢圓上運動，當△ABM的最大面積為3時，求其橢圓方程；
（2）對于（1）中的橢圓方程，作以C為直角頂點的內接于橢圓的等腰直角三角形CDE，設直線CE的斜率為k（k＜0），試求k滿足的關系等式；
（3）過C任作

CP

垂直于

CQ

，點P、Q在橢圓上，試問在y軸上是否存在一點T使得直線TP的斜率與TQ的斜率之積為定值，如果存在，找出點T的坐標和定值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由焦點坐標可求c，利用△ABM的最大面積為3，可得a，b的關系，再借助于幾何量間的關系，可求橢圓方程；
（2）根據C是直角頂點，假設CE所在的直線方程與橢圓方程聯立求得CE，CD的長，利用|CE|=|CD|，可求關系式；
（3）先假設T（0，-b），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用

CP

垂直于

CQ

，點P、Q在橢圓上，可表示出直線TP的斜率與TQ的斜率之積，從而得解．

解答：解：（1）由已知：c=2

2

，

1

2

(2a)b=3，聯立方程組求得：a=3，b=1，所求方程為：

x2

9

+y2=1（4分）
（2）依題意設CE所在的直線方程為y=kx+1（k＜0），代入橢圓方程并整理得：（1+9k²）x²+18kx=0，則|CE|=

1+k2

•

18|k|

1+9k2

，同理|CD|=

1+k2

•

18

9+k2

（8分）
由|CE|=|CD|得k³+9k²+9k+1=0，即（k+1）（k²+8k+1）=0（11分）
（3）由題意得：T（0，-b），又知C(0，b)，

CP

⊥

CQ

，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

CP

•

CQ

=(x1，y1-b)•(x2，y2-b)=x1x2+(y1-b)(y2-b)=0x₁x₂=-（y₁-b）（y₂-b）（13分）
又由

x2

a2

+

y2

b2

=1得

x

2 1

=a2(1-

y 2 1

b2

)，同理

x

2 2

=a2(1-

y 2 2

b2

)，
所以

x

2 1

x

2 2

=a4(1-

y 2 1

b2

)(1-

y 2 2

b2

)=

a4

b4

(b-y1)(b+y1)(b-y2)(b+y2)．
從而得

a4

b4

(y1+b)(y2+b)=(y1-b)(y2-b)所以

(y1+b)(y2+b)

(y1-b)(y2-b)

=

b4

a4

（15分）
而kTPkTQ=

y1-t

x1

•

y2-t

x2

=-

(y1-t)(y2-t)

(y1-b)(y2-b)

=-

b4

a4

（為定值）．對比上式可知：
選取T（0，-b），則得直線TP的斜率與TQ的斜率之積為-

b4

a4

（18分）

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，考查研究橢圓和解三角形問題的綜合，考查是否存在性問題的探究．對學生對問題的綜合分析的能力要求很高．