Question

【題目】已知平面內動點P與點A（﹣3，0）和點B（3，0）的連線的斜率之積為﹣ ．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡且曲線C，過點（1，0）的直線與曲線C交于M，N兩點，記△AMB的面積為S1 ， △ANB的面積為S2 ， 當S1﹣S2取得最大值時，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：2a=6，則a=3，離心率e= = ，

則c=1，b2=a2﹣c2=8，

∴橢圓的標準方程：

（2）

解：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線MN的方程：lMN：x=my+1，

，整理得：（8m2+9）y2+16my﹣64=0，

顯然△＞0，

則y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

S1= 丨AB丨×丨y1丨=3丨y1丨，同理S2=3丨y2丨，

不妨設，丨y1丨＞丨y2丨，

于是S1﹣S2=3丨y1丨﹣3丨y2丨=3丨y1+y2丨= ，

當S1﹣S2最大時，m≠0，

則S1﹣S2= ≤ =2 ，

當且僅當8丨m丨= ，即m2= ，即m=± ，則S1﹣S2取最大值，

若m= ，則18y2+12 y﹣64=0，

解得：y= ，y1= ，y2= ，

則 =丨 丨=丨 丨= ，

若m=﹣ ，則18y2﹣12 y﹣64=0，

解得：y= ，則y1= ，y2= ，

此時 =丨 丨=丨 丨= ，

綜上可知： 的值

【解析】（1）由a=3，利用橢圓的離心率公式，即可求得c，則b2=a2﹣c2=8，即可求得橢圓方程；（2）設直線MN方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，S1﹣S2=3丨y1丨﹣3丨y2丨=3丨y1+y2丨利用韋達定理及基本不等式的性質，即可求得面積最大值時，m的取值，分類討論，分別求得y1及y2 ， 即可求得 的值．