Question

【題目】已知橢圓的上、下焦點分別為，上焦點到直線 4x+3y+12=0的距離為3，橢圓C的離心率e=．

(I)若P是橢圓C上任意一點，求的取值范圍；

(II)設過橢圓C的上頂點A的直線與橢圓交于點B(B不在y軸上)，垂直于的直線與交于點M，與軸交于點H，若，且，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析:（1）先根據點到直線距離公式求出c，再根據離心率求出.根據橢圓定義得，所以可化為一元二次函數，最后根據自變量取值范圍求二次函數最值，即得的取值范圍；（2）先設直線的斜率為，根據直線方程與橢圓方程聯立方程組可求出， ，由,解出,由，解出,即得最后根據 解出.

試題解析：（Ⅰ）由已知橢圓方程為，

設橢圓上焦點 ，由到直線 的距離為,

得，又橢圓的離心率，所以，又，求得.橢圓方程為，

所以，設， =，

時， 最大值為4，

或3時， 最小值為3， 取值范圍是.

（Ⅱ）設直線的斜率為，

則直線方程，設， ,

由，得，

則有， ，所以，

所以,,

由已知,

所以 ,解得,

,， ,

方程，聯立

，解得，

所以直線的方程為.