Question

設橢圓：的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且，若過，，三點的圓恰好與直線：相切. 過定點的直線與橢圓交于，兩點（點在點，之間）.

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線的斜率，在軸上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形. 如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若實數滿足，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）

（Ⅰ）解：因為，
所以為中點.
設的坐標為，
因為，
所以，，且過三點的圓的圓心為，半徑為.          ………………………… 2分
因為該圓與直線相切，所以.
解得，所以，.
故所求橢圓方程為.   …………………………………… 4分
（Ⅱ）設的方程為（），
由得.
設，，則.……………………5分
所以.
=
.
由于菱形對角線互相垂直，則.……………………6分
所以.
故.
因為，所以.
所以
即.
所以
解得. 即.
因為，所以.
故存在滿足題意的點且的取值范圍是. ……………… 8分
（Ⅲ）①當直線斜率存在時，
設直線方程為，代入橢圓方程
得.
由，得.      …………………………………………… 9分
設，，
則，.  
又，所以. 所以. …… 10分
所以，.
所以. 所以.
整理得.      ……………………………………… 11分
因為，所以. 即. 所以.
解得.
又，所以. …………………………………… 13分
②又當直線斜率不存在時，直線的方程為，
此時，，，，
，所以.
所以，即所求的取值范圍是. ……………… 14分