Question

本題滿分14分）已知橢圓C的中心在原點，焦點、在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且的最大值為90°，直線l過左焦點與橢圓交于A、B兩點，
△的面積最大值為12．
（1）求橢圓C的離心率；（5分）
（2）求橢圓C的方程。（9分）

Answer 1

(1)，
(2)

解：（1）根據橢圓的定義，可知動點的軌跡為橢圓，設橢圓方程：  其焦距為，則，，則．
所以動點M的軌跡方程為：．                 ………………………5分
（2）當直線的斜率不存在時，不滿足題意．
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，，
∵，∴．                 ………………………6分
　　 ∵，， ∴．
　　　∴．（1）             ………………………8分
由方程組 得．  
由 得
則，，             ………………………11分
代入①，得．
即，解得，或． 經驗證。   ………………………13分
　所以，直線的方程是或．      ………………………14分