Question

已知實數1，m，9依次構成一個等比數列，則圓錐曲線

x2

m

+y2=1的離心率為（　　）

• A．

  6

  3

• B．

  2 3

  3

• C．

  6

  3

  或2
• D．

  2 3

  3

  或2

Answer 1

分析：根據實數1、m、9依次構成一個等比數列，得m=±3．然后根據m取值的兩種情況，分別得到圓錐曲線方程表示的圖形，結合橢圓、雙曲線基本量的平方關系和離心率公式，可分別得出它的離心率．

解答：解：∵實數1、m、9依次構成一個等比數列，
∴m²=1×9，解之得m=±3
①當m=3時，圓錐曲線

x2

m

+y2=1的方程為

x2

3

+y2=1，表示橢圓
a²=3，b²=2，可得a=

3

，c=

a2-b2

=

2

∴橢圓的離心率e=

c

a

=

6

3

②當m=3時，圓錐曲線

x2

m

+y2=1的方程為y2-

x2

3

=1，表示雙曲線
a²=1，b²=3，可得a=1，c=

a2+b2

=2
∴雙曲線的離心率e=

c

a

=2
故選：C

點評：本題給出圓錐曲線方程，在不同情況下求曲線的離心率，著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程和簡單性質等知識，屬于基礎題．