Question

(本題15分)如圖，AC 是圓 O 的直徑，點(diǎn) B 在圓 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于點(diǎn) M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C//EA，AC＝4，EA＝3，F(xiàn)C＝1．
（I）證明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 與平面ABC 所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）．

解析試題分析：（1）本小題易建立空間直角坐標(biāo)系，易于用向量法求解，建系后可求出點(diǎn)E，M，B，F(xiàn)的坐標(biāo)，然后利用證明即可.
（2）由于EA垂直平面ABC，所以可做為平面ABC的法向量，然后再求出平面BEF的法向量
設(shè)二面角為求解即可.
（1）．
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于、、所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．由已知條件得，

．
由，
得， ．   ……………6分
（2）由（1）知．
設(shè)平面的法向量為，
由得，]
令得，，
由已知平面，所以取面的法向量為，
設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，
則，
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．.
考點(diǎn)：利用空間向量法證明異面直線垂直，求二面角.
點(diǎn)評(píng)：利用空間向量法證明兩直線垂直，就是證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為零即可.
在利用向量法求二面角時(shí)，要先求（或找）出兩個(gè)面的法向量，然后求法向量的夾角即可.
還要注意法向量的夾角可能與二面角相等也可能互補(bǔ)，要注意從圖形上觀察.