Question

直線AB過拋物線x²=2py（p>0）的焦點F，并與其相交于A、B兩點，Q是線段AB的中點，M是拋物線的準線與y軸的交點，O是坐標原點.
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）過A、B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點.
求證：；
（Ⅲ）若p是不為1的正整數，當，△ABN的面積的取值范圍為［5，20］時，求該拋物線的方程.

Answer 1

（Ⅰ）·的取值范圍是.   
（Ⅱ）證明見解析
（Ⅲ）拋物線的方程：x²=4y.    

（Ⅰ）由條件得M(0，－)，F(0，).設直線AB的方程為
       y=kx+，A(，)，B(，)
則，，Q().  …………………………2分
由得.
∴由韋達定理得+=2pk，·=－   …………………………3分
從而有= +=k(+)+p=2pk÷p.
∴·的取值范圍是.     …………………………4分
（Ⅱ）拋物線方程可化為，求導得.
∴      =y    .
∴切線NA的方程為：y－即.
切線NB的方程為：  …………………………6分
由解得∴N()
從而可知N點Q點的橫坐標相同但縱坐標不同.
∴NQ∥OF.即   …………………………7分
又由（Ⅰ）知+=2pk，·=－p
∴N(pk，－).     …………………………8分
而M(0，－) ∴
又. ∴.      …………………………9分
（Ⅲ）由.又根據(Ⅰ)知
∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2.  …………………………10分
由于=(－pk，p)， 
∴
從而.        …………………………11分
又||=，||=
∴.
而的取值范圍是［5，20］.
∴5≤5p²≤20，1≤p²≤4.  …………………………13分
而p>0，∴1≤p≤2.
又p是不為1的正整數.
∴p=2.
故拋物線的方程：x²=4y.     …………………………14分