Question

【題目】已知、、為大于3的整數，將的立方體分割為個單位正方體，從一角的單位正方體起第層、第行、第列的單位正方體記為．求所有有序六元數組的個數，使得一只螞蟻從出發，經過每個小正方體恰一次到達.（注）螞蟻可以從一個單位正方體爬到另一個與之有公共面的相鄰正方體．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

按照國際象棋棋盤的染色規則交替地將各個單位正方體染為黑色或白色，其中，為黑色．

當為偶數時，任兩個異色的小正方體滿足條件；當為奇數時，任兩個黑色的小正方體滿足條件．

首先證明三個引理．

引理l （i）在立方體中，異色的兩個小正方體滿足條件；

（ii）在立方體中，黑色的兩個小正方體滿足條件．

引理l的證明 由文[1]加試第四題可證．

引理2 在立方體中，

滿足條件，其中，，即、異色．

引理2的證明 在第l層中，由引理l（i），有滿足條件，其路徑為…，

其為黑白相間的．則在立方體中，對，，用

……

代替，而不變．

【注】為同一層相鄰，為不同層相鄰．

故在立方體中，滿足條件．

引理3 在立方體中，

滿足條件，其中，，即、異色．

引理3的證明 在第l層中，由引理l（i），有（與異色）滿足條件，取第2層中與相鄰的小正方體為；類似有…，

其中，、分別為第層與、同色的小正方體

故在正方體中，滿足條件．

回到原題．

（1）為偶數．

不妨設為偶數，異色的小正方體、分別在第、層（）．

若，則將立方體按層、層、層分成三部分，在上、下兩部分應用引理2，在中間部分應用引理l（i）或引理3，得到在立方體中的路徑

（、同引理3）．

若，則將立方體按層、層分成兩部分，類似得在立方體中的路徑

．

若，則將立方體按層、層、層分成三部分．

在第層，由引理l（i）有…．

取，則由引理2知在上、下兩部分中分別有，滿足條件．

從而，在立方體中有路徑

………，其中，、分別為第層的小正方體

（2）為奇數．

若黑色的小正方體、在立方體的對角，則由引理l（ii），仿引理2可構造路徑滿足條件；否則，方體有一面不含、，且、到該面的投影不同．不妨設、，其中，、，．

將立方體先按第l層、第層分成兩部分，再將后者按第行、第行分成兩部分．

因為偶數，所以，由（1）知在后兩部分內分別有，滿足條件，其中，、為第2層中的白色小正方體．

在第l層中分別取與、相鄰的黑色小正方體，記為、．由引理1（ii）知滿足條件．

則立方體中有路徑．

故當為奇數時，所求為； ’

當為偶數時，所求為．