Question

【題目】某工廠生產甲、乙兩種產品所得利潤分別為和（萬元），它們與投入資金（萬元）的關系有如下公式：，，今將200萬元資金投入生產甲、乙兩種產品，并要求對甲、乙兩種產品的投入資金都不低于25萬元.

（Ⅰ）設對乙種產品投入資金（萬元），求總利潤（萬元）關于的函數關系式及其定義域；

（Ⅱ）如何分配投入資金，才能使總利潤最大，并求出最大總利潤.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）根據題意，對乙種商品投資（萬元），對甲種商品投資（萬元），結合題意可求經營甲、乙兩種商品的總利潤（萬元）關于的函數表達式；（Ⅱ）令，利用配方法結合二次函數的性質可求總利潤y的最大值．

詳解：（Ⅰ）根據題意，對乙種產品投入資金萬元，

對甲種產品投入資金萬元,

那么

，

由，解得，

所以函數的定義域為.

（Ⅱ）令，則 ，

因為∈，所以，

當時函數單調遞增，當時函數單調遞減，

所以當=時，即=時， ，

答：當甲種產品投入資金萬元，乙種產品投入資金元時，總利潤最大.

最大總利潤為萬元．