Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx，（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件f（2-x）=f（x-1），且方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)根．

（1）求f（x）的解析式；

（2）設(shè)g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）-f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]與[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=-x2+x（2）F（x）min=（3）

【解析】

（1）結(jié)合一元二次函數(shù)的圖形特征，列出與△=0；（2）根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系來分類討論；
（3）觀察圖形知 ；f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增

（1）由題意知f（x）=ax2+bx關(guān)于x=對稱

∴-=

ax2+bx=x有兩個(gè)相等的實(shí)根，∴△=0

∴

所以，f（x）=-x2+x；

（2）F（x）=kx+1+x2-x=x2+（k-1）x+1

F（x）的對稱軸為：x=-

①當(dāng)-≤1時(shí)，F（x）min=F（1）≤k+1

②當(dāng)1＜-≤2時(shí)，

③當(dāng)-＞2時(shí)，F（x）min=F（2）=2k+3

∴F（x）min=

（3）f（x）=

∴2nn

∴f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增

∴

∵m＜n ∴