Question

【題目】已知橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成面積為3的直角三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線， 與橢圓交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，如過(guò)，求出該定點(diǎn)；不過(guò)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）坐標(biāo)原點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）由題意得直角三角形為等腰直角三角形，所以，再根據(jù)面積得，解得（2）先探索：以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，再以算代證：設(shè)，則只需證明，設(shè)方程，則只需證，由直線與圓相切可得，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理給予證明.

試題解析：（I）因?yàn)闄E圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，所以

,故橢圓的方程為，

（Ⅱ）圓的方程為,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線AB方程為，

則，所以

所以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程設(shè)為，設(shè)

因?yàn)橹本�與相關(guān)圓相切，所以

聯(lián)立方程組得,

即,

,

所以為直徑的圓恒過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).