Question

已知等差數列{a_n}前n項和為S_n，且a₃=3，S₁₅=120．
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）設b_n=n•2^a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件利用等差數列的通項公式和前n項和公式列出方程組，求出a₁=0，d=1，由此能求出a_n=n-1．
（2）b_n=3 an+2n=3^n-1+2n，由此利用分組求和法能求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）設等差數列{a_n}首項為a₁，公差為d，
由題意得

a1+2d=3 15a1+ 15×14 2 d=120

，
解得a₁=1，d=1，∴a_n=n．
（2）b_n=n•2^a_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得，-T_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：該題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的熟練運用．