Question

已知圓M和圓P：x²+y²-2

2

x-10=0相內切，且過定點Q（-

2

，0）．
（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡方程；
（Ⅱ）不垂直于坐標的直線l與動圓圓心M的軌跡交于A、B兩點，且線段AB的垂直平分線經過點（0，-

1

2

），求△AOB（O為原點）面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由已知得M的軌跡是以（-

2

，0），（

2

，0）為焦點，2

3

為長軸長的橢圓，由此能求出動圓圓心M的軌跡方程．
（II）設AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，由此利用韋達定理、橢圓弦長公式、點到直線的距離公式結合已知條件能求出△AOB（O為原點）面積的最大值．

解答： 解：（I）由已知|MP|=2

3

-|MQ|，即|MP|+|MQ|=2

3

，…（2分）
且2

3

大于|PQ|，…（3分）
所以M的軌跡是以（-

2

，0），（

2

，0）為焦點，2

3

為長軸長的橢圓，
即其方程為

x2

3

+y2=1．…（5分）
（II）設AB的方程為y=kx+t，
代入橢圓方程得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
△=4（9k²+3-3t²）＞0，即3k²+1＞t²，①方程有兩個不同的解，…（6分）
x1+x2=

-6kt

3k2+1

，

x1+x2

2

=

-3kt

3k2+1

，

y1+y2

2

=

t

3k2+1

，…（7分）

y1+y2 2 + 1 2

0- x1+x2 2

=-

1

k

，
化簡得到3k²+1=4t，②…（8分）
得到0＜t＜4，
又原點到直線的距離為d=

|t|

k2+1

，…（9分）
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

4(9k2+3-3k2)

3k2+1

，…（10分）
S_△AOB=

1

2

|AB||d|=

1

2

•

|t|

k2+1

•

4(9k2+3-3t2)

3k2+1

，
化簡得到S_△AOB=

1

4

3(4t-t2)

，
所以當t=2時，即k=±

7 3

…（11分）
S_△AOB取得最大值

3

2

．…（12分）

點評：本題動圓圓心的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理、橢圓弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．