Question

設X是一個非空集合，τ是X的若干個子集組成的集合，若滿足：①∅∈τ，X∈τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ．則稱τ是X的拓撲．設X={a，b，c}，對于下面給出的集合τ：
（1）τ={∅，{a}，{b}，{a，c}，{a，b，c}}；   
（2）τ={∅，{a}，{c}，{a，c}，{a，b，c}}；
（3）τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}}；  
（4）τ={∅，{a}，{a，b}，{b，c}，{a，b，c}}
則τ是集合X的拓撲的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：集合

分析：根據拓撲的定義，結合元素和集合的關系即可得到結論．

解答： 解：（1）當τ={∅，{a}，{b}，{a，c}，{a，b，c}}時，{a}∪{b}={a，b}∉τ，故（1）不是集合X上的拓撲的集合τ；
 （2）當τ={∅，{a}，{c}，{a，c}，{a，b，c}}時，滿足：①X屬于τ，∅屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ，因此（2）是集合X上的拓撲的集合τ；
（3）當τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}}時，滿足：①X屬于τ，∅屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ，因此（3）是集合X上的拓撲的集合τ；
（4）當τ={∅，{a}，{a，b}，{b，c}，{a，b，c}}時，滿足：①X屬于τ，∅屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ，因此（4）是集合X上的拓撲的集合τ；
故τ是集合X的拓撲的個數是3個，
故選：C

點評：本題主要考查元素和集合關系的判斷，正確理解拓撲的定義是解決本題的關鍵．