Question

已知橢圓O：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為e₁，動△ABC是其內(nèi)接三角形，且

OC

=

3

5

OA

+

4

5

OB

．若AB的中點為D，D的軌跡E的離心率為e₂，則（　　）

• A、e₁=e₂
• B、e₁＜e₂
• C、e₁＞e₂
• D、e₁e₂=1

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓的方程并利用

OC

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，可得C(

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2)．代入橢圓的方程可得

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0（定值）．再利用中點坐標(biāo)公式可得D的坐標(biāo)，計算

x 2 D

a2

+

y 2 D

b2

為定值即可得出．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1
由

OC

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，得C(

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2)．
∵C是橢圓上一點，
∴

( 3 5 x1+ 4 5 x2)2

a2

+

( 3 5 y1+ 4 5 y2)2

b2

=1，
(

3

5

)2(

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

)+(

4

5

)2(

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

)+2(

3

5

)(

4

5

)(

x1x2

a2

+

y1y2

b2

)=1，
得 

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0（定值）．
 設(shè)D(x，y)，則x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，
∴

x2

a2

+

y2

b2

=

( x1+x2 2 )2

a2

+

( y1+y2 2 )2

b2

=

1

4

(

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

)+

1

4

(

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

)=

1

2

，
∴e₁=e₂．
故選：A．

點評：本題考查了點與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的性質(zhì)、向量的坐標(biāo)運算和數(shù)乘運算、中點坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．