Question

【題目】如圖，某城市小區有一個矩形休閑廣場，AB=20米，廣場的一角是半徑為16米的扇形BCE綠化區域，為了使小區居民能夠更好的在廣場休閑放松，現決定在廣場上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場的雙人靠背直排椅MN（寬度不計），點M在線段AD上，并且與曲線CE相切；另一排為單人弧形椅沿曲線CN（寬度不計）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價每米為2a元，單人弧形椅的造價每米為a元，記銳角∠NBE=θ，總造價為W元．
（1）試將W表示為θ的函數W（θ），并寫出cosθ的取值范圍；
（2）如何選取點M的位置，能使總造價W最小．

Answer 1

【答案】
（1）解：過N作AB的垂線，垂足為F；過M作NF的垂線，垂足為G．

在Rt△BNF中，BF=16cosθ，則MG=20﹣16cosθ

在Rt△MNG中， ，

由題意易得 ，

因此， ，

（2）解：

令W′（θ）=0， ，因為 ，所以 ．

設銳角θ1滿足 ，

當 時，W，（θ）＜0，W（θ）單調遞減；

當 時，W，（θ）＞0，W（θ）單調遞增．

所以當 ，總造價W最小，最小值為 ，

此時 ， ， ，

因此當 米時，能使總造價最小

【解析】（1）過N作AB的垂線，垂足為F；過M作NF的垂線，垂足為G．構建直角三角形，通過解直角三角形、勾股定理和弧長公式進行解答；（2）將（1）中的函數關系進行變形得到 ．W′（θ）=0， ，因為 ，所以 ．然后結合θ的取值范圍進行分類討論，利用三角函數的單調性進行解答．
【考點精析】利用三角函數的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．